La Formulación de Hipótesis

Cinta de Moebio. Num. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

David Pájaro Huertas. Investigador de la sección de Génesis, Morfología y Clasificación de

Suelos. IRENAT-CP. Montecillo, México.

Resumen

La formulación de una hipótesis es la manera o los requisitos que deberán cumplirse para proceder a redactarla y entonces tener el enunciado conocido como hipótesis; lo cual es diferente al concepto de hipótesis. Es decir, hablaremos de la hipótesis como un enunciado y posteriormente como un concepto en base a las preguntas como se formula y para qué sirve.

Palabras claves: hipótesis, formulación, requisitos

Recibido el 27/Muy/2002.

Abstract

The formulation of a hypothesis is the way or the requirements that will be completed to proceed to edit it and then to have the one enunciated well-known as hypothesis; that which is different to the hypothesis concept. That is to say, we will speak of the hypothesis like an enunciated and later on as a concept based on the questions how it is formulated and for what reason it serves.

Key words: hypothesis, formulation, requirements

Introduction

El término hipótesis y su utilización dentro del proceso de investigación científico es de empleo

Reciente, quizá· las ideas pioneras del historiador William Wheel escritas en 1847 (History of the

inductivo sienes) y la influencia de la obra monumental de Hegel (1779-1831), Comte (1798-

1857) y Federico Engels (1820-1895), como reconocidos pensadores, nos proporcionan ese marco

de referencia conocido como método científico; sin embargo, es muy probable que a partir de la

obra del gran fisiólogo y médico francés Claude Bernard (1813-1878) sea clásico distinguir en la

investigación experimental tres etapas: la observación, la hipótesis y la comprobación, y que es a

través del cual que reconocemos que la hipótesis es la brújula que guía la generación de

conocimiento científico. De tal manera que cualquier investigador esta· obligado a formular o

plantear una o varias hipótesis, que una vez contrastadas le permitirán generar conocimiento

científico.

Existen al menos dos etapas de trabajo por las que cualquier investigador pasar. La primera,

cuando en sus trabajos iniciales esta· atento en torno a los hechos de la naturaleza y por lo tanto,

REALIZA OBSERVACION, y la segunda, cuando con base en ellos FORMULA ALGUNA

HIPOTESIS, que sometida a la comprobación pertinente, le proporciona los datos o información

suficiente para aceptarla o rechazarla. Ambas etapas son importantes, pero la formulación y

posterior comprobación de hipótesis, es el punto culminante en la generación de conocimiento Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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científico. Si algún investigador, dependiendo del ·rea de trabajo que esté abordando, no es capaz

de formular y comprobar alguna hipótesis, sus resultados son descriptivos y es poco probable que

contribuyan a generar conocimiento científico dentro de la etapa telúrica.

Cuando hablamos de hipótesis, siempre estarán en torno a este tema cuatro preguntas básicas:

1) ¿Qué es una hipótesis?

2) ¿Cómo se formula?

3) ¿Para qué sirve?

4) ¿Cómo se contrasta?

A propósito del título, en el presente documento diremos que el término formulación hace

referencia al enunciado de un principio, hecho o fenómeno en palabras o símbolos, sean o no matemáticos. Por analogía, diremos que la formulación de una hipótesis es la manera o los requisitos que deberán cumplirse para proceder a redactarla y entonces tener el enunciado conocido como hipótesis; lo cual es diferente al concepto de hipótesis. Por lo tanto, primero hablaremos de la hipótesis como un enunciado y posteriormente como un concepto.

 Esto a su vez obliga a cambiar el orden de las preguntas básicas respecto al tema, abordándose como sigue: a) como se formula?, b) para qué sirve?, c) ¿Cual es el concepto de hipótesis? y, d) ¿ Como se contrasta? Seguiremos dicho orden en el presente documento, considerando las tres primeras preguntas, la cuarta se analiza en otro escrito.

¿Cómo se Formula una Hipótesis? O Cómo se Redacta una Hipótesis

Para analizar la etapa correspondiente a la formulación de una hipótesis, es necesario considerar como punto inicial al proceso de percepción del entorno, que en términos sencillos involucra la utilización de nuestros sentidos. Ya que la comprensión habitual de la evolución del hombre es resultado del hecho de que entendemos dicho proceso explorando la realidad física con nuestros cinco sentidos. Hasta el momento actual hemos sido seres humanos cinco-sensoriales. Este camino de la evolución nos ha permitido comprender los principios básicos del Universo de manera concreta. Gracias a nuestros cinco sentidos, sabemos que cada acción es una causa que provoca un efecto, y que cada efecto posee una causa. De tal forma que el proceso de percepción involucra a su vez cuatro etapas, conocidas como: formación de imágenes, establecimiento de sensaciones, esclarecimiento de ideas y elaboración de conceptos.

Estas cuatro etapas en conjunto conducen al proceso de observación. De tal forma que la observación es la utilización de los sentidos para la percepción de hechos o fenómenos que nos rodean, o son de interés del investigador. Entonces, la observación, permite abordar la realidad, esto es, la totalidad de hechos existentes y concretos que rodean los fenómenos que se estudian. El profesor de física David Bohr, del Birkbeck College, de la universidad de Londres dice que la palabra "realidad" esta· derivada de las raíces "cosa" (res) y "pensar" (reví). Realidad, por lo tanto, significa "todo aquello en lo que se puede pensar". Tal definición tiene la influencia de la física cuántica, que esta· basada en la percepción de un nuevo orden en el universo. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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Desde el punto de vista de la Epistemología, existen tres herramientas básicas para abordar a los hechos, o todo aquello que sucede en la naturaleza: observando, midiendo y experimentando. Lo cual puede realizarse en una acción a la vez, o las tres de manera simultánea. Esto quiere decir que un fenómeno se está· observando.

Por lo que, la observación metódica y sistemática de los hechos, permitir· a través del tiempo, generar información (o datos) acerca de su comportamiento. De esto resulta, que un hecho o fenómeno, podrá· observarse en términos de fracciones de segundo, como en una reaccióquímica, o de manera perpetua, como en el movimiento de los planetas, o de alguna variable del clima. Y la disponibilidad de datos a su vez permite observar, medir o experimentar en torno al fenómeno estudiado, todo en un proceso dialéctico. La Etapa Empírica para la Generación de Conocimiento Científico

La etapa en la cual se está· generando información referente a un hecho o fenómeno, se conoce como etapa EMPIRICA; o de manera atinada, aquella etapa que proporciona experiencia. En esta etapa utilizamos como herramienta fundamental a la observación. Resaltemos la importancia de la observación y su relación con la formulación de hipótesis, analizando algunos episodios de la ciencia que han resultado fundamentales.

La observación se define como la utilización intencionada de nuestros sentidos para captar información. En la actualidad se considera que la observación tiene un papel importante en la ciencia cuando esta· guiada por una hipótesis, tal como lo mencionaba Claude Bernard: "todo el conocimiento humano se reduce a ascender de los efectos observados, a su causa. Después de una observación, se presenta al espíritu una idea relativa a la causa del fenómeno observado; luego esta idea anticipada es introducida en un razonamiento en virtud del cual se hacen experiencias para comprobarla. Por el momento, es necesario hacer notar que la idea experimental no es arbitraria ni puramente imaginaria; debe tener siempre un punto de apoyo en la realidad observada, es decir en la Naturaleza. La hipótesis experimental, en una palabra, debe estar siempre fundada en una observación anterior". La observación científica se da a partir de la selección deliberada de un fenómeno o aspecto relevante de Éste, mediante la guía del método científico.

Los astrólogos caldeos de los siglos VII y VI a. C., quienes al igual que sus antecesores babilonios, crean que los cielos eran divinos, y por lo tanto identificaban a cada planeta con una deidad (Mercurio, Venus, Marte). Pensaban que observando sus movimientos podían predecir sus

intenciones. Si la conducta de los planetas hubiera sido irregular, haciendo algo nuevo cada vez, la

tarea de los astrólogos habría sido muy difícil y, probablemente no lo habrían iniciado. Pero dado

que los movimientos eran cíclicos y se repetían una y otra vez, la operación no parecía tan difícil y,

por tanto, tenía sentido ser extremadamente cuidadoso y preciso en las observaciones. Kidinnu

(siglo VI a. C.) calcula el movimiento del sol con una exactitud tal que solo fue superada en el siglo

XX. Cabe recordar que caldeos, babilonios y griegos, carecían de telescopios.

El evento que permite generar experiencia y que esta· ampliamente relacionado con el de

observación puede ejemplificarse con la formidable actividad de Tigre o Tico Brame; Él nunca hizo

grandes descubrimientos, salvo uno, que lo convirtió en el padre de la Astronomía moderna,

fundada en la observación. El descubrimiento estriba en que la astronomía tenía necesidad de datos observados, precisos y continuos. Guardad todos silencio y escuchad a Tico, quien dedicó treinta y ocho años de su vida a la observación del movimiento de los planetas (de 1563 a 1601). Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

David Pájaro Huertas. La Formulación de Hipótesis. Cinta de Moebio N° 15. Septiembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.Poco se ha escrito e investigado acerca de las ciencias entre los pueblos mesoamericanos. Sin

embargo una constante emerge entre lo que normalmente se pone de relieve: la observación

detallada y continua de los astros para obtener la precisión de los cálculos astronómicos. Eli de

Gortari presenta en su libro, "La ciencia en la historia de México" la siguiente tabla, en la cual es

posible comprender la magnitud e importancia de la observación.

Período Sinódico

 C£LCULO MAYA C£LCULO MODERNO

Luna 29.530864 29.53058877

Mercurio 115 115.667

Venus 584 583.92

Marte 780 779.936

Júpiter 389.6 398.867

La forma, las dimensiones y la orientación de la pirámide maya de Kukulk·n están calculadas de tal

modo que involucraron las observaciones de los astros conocidos en esa Época, y una vez al año,

por espacio de veinte minutos en el equinoccio, el juego de luz y sombras en los escalones asemeja una gigantesca serpiente que desciende por ellos. Esto solo fue posible después de observar los movimientos de los astros y poseer un conjunto de datos sistematizados, como el que se presenta en la tabla anterior.

Georg Christopher Lichtenberg, físico, matemático y astrónomo alemán, que nació en 1742, afirmaba que "la observación y el conocimiento del mundo son la base de todo, además hay que haber observado mucho para poder usar las observaciones ajenas como si fueran propias, de otro modo, solo se leen y quedan en la memoria sin mezclarse con la sangre".

Hoy en día todos conocemos aquella teoría que nos dice que el mecanismo de la evolución es la selección natural. Charles Darwin y Alfred Wallace son sus creadores. Aunque el primero siempre se lleva el crédito. Darwin tuvo una gran ventaja al ser invitado a una expedición científica a América del Sur, en el famoso velero "Beagle".

Darwin observa las grandes similitudes entre la flora y la fauna que existían entre las comunidades bióticas de los continentes, con aquellas comunidades de islas cercanas y dichos continentes. Para Darwin, tales similitudes y diferencias tenían un significado, una razón de ser. Con el apoyo de las obras de Ley ("Principales of Geología") y de Malthus ("En Essay on the principle of population"), Darwin postula el mecanismo que rige el proceso evolutivo de las formas de vida de nuestro planeta: la selección natural. En ella se plantea que es el medio ambiente quien ejerce una fuerza adaptativa sobre los individuos, a la cual estos deben acostumbrarse, y por lo tanto evolucionar.

A diferencia de Darwin, Alfred Wallace realiza todas sus observaciones en el ArchipiÈlago Malayo, y de forma separada postula el mismo mecanismo evolutivo para las formas vivas existentes. Tanto Darwin como Wallace utilizan a la observación como herramienta principal para tener información. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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La información anterior son ejemplos grandiosos que dejan claro que la observación de los hechos constituye la etapa empírica para la generación de conocimiento científico, y puede ser en instantes o durante años. La observación de los hechos de la naturaleza aporta datos, producto de la medición de ciertos eventos, o por experimentación.

La Etapa Teórica para la Generación de Conocimiento Científico

La siguiente etapa importante en la generación de conocimiento es la etapa TEORICA. El investigador utiliza herramientas tales como los principios, postulados, hipótesis y leyes. Aquí, el término hipótesis, deber· ser entendido desde una doble perspectiva: 1) como concepto y 2) como enunciado o formulación; razón por la cual se requiere saber cómo formular una hipótesis y posteriormente como contrastarla. Así sus resultados pasan a formar parte de la etapa telúrica de la generación de conocimiento científico (ver figura 1).

Figura 1. La generación de conocimiento científico

 Observación

Etapa Empírica =====> Conocimiento de los Hechos <=====Medición

 || Experimentación

Etapa Telúrica =====> Principios, postulados, hipótesis, leyes

Entonces, la formulación de cualquier hipótesis es sobre la base de determinados hechos o fenómenos, que al conocerse generan datos (información) de su comportamiento. Estos datos apenas constituyen una descripción de la realidad; pero sin ellos, carecemos de la materia inicial para tal formulación. Ya que en la actualidad la concepción de cómo se trabaja en la ciencia se conoce como el "modelo hipotético-deductivo", cuyo nombre se debe al filósofo Carl Empela; y que efectivamente con base en este enfoque se enlaza a la teoría con la empírea.

Por lo tanto, la observación de la realidad conforma la gran experiencia que proporciona datos a partir de los cuales se formulan las hipótesis, que contrastadas adecuadamente, contribuyen a la creación de la teoría que sustenta o explica el comportamiento de cualquier hecho o fenómeno de la naturaleza. Es en esta fase cuando se genera conocimiento científico.

La Formulación de Hipótesis

La formulación de cualquier hipótesis debe respetar estándares establecidos por la epistemología; el cuadro 1 presenta los aspectos más sobresalientes. De estos, quizá· el más importante y que ayuda a formular, propiamente dicho, a una hipótesis es el requisito que establece la forma sintáctica, o sea, la manera en que se redacta o se escribe una hipótesis.

Cuadro 1

Algunas Carácterísticas para la Formulación de Hipótesis

1. No debe contener palabras ambiguas o no definidas

2. Los términos generales o abstractos deben ser operacionalizables. Esto es, tendrán

referentes o correspondencias empíricas (hechos, objetos, fenómenos reales)

3. Los términos abstractos, que no tienen referente empírico, no son considerados

4. Los términos valorativos no se consideran por no comprobarse objetivamente

5. Cuando sea posible, debe formularse en términos cuantitativos Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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6. La forma sintáctica debe ser la de una proposición simple. En ningún caso puede tener

la forma de interrogante, prescripción o deseo

7. La hipótesis causal o estadística debe considerar solo dos variables

8. Deber· excluir tautologías. Esto es, repetición de una palabra o su equivalente en una frase

9. Deber· evitar el uso de disyunciones; las que aparecen en proposiciones compuestas del

tipo p o q, donde p y q son proposiciones simples cualesquiera

10. Deber· estar basada en el conocimiento científico ya comprobado y tomarlo como punto de

partida. Esto es, considera al marco teórico

11. Deber· ser doblemente pertinente: a).- en su referencia al fenómeno real de investigación y

b).- en el apoyo teórico que la sostiene

12. Deber· referirse a aspectos de la realidad que no han sido investigados aún, ya que un

objetivo de la actividad científica es la producción de nuevos conocimientos, y

13. Finalmente, una característica de la HIPOTESIS CIENTIFICA es su falibilidad. Esto

implica que una vez comprobada puede perfeccionarse a través del tiempo.

Los antecedentes modernos para la formulación de una hipótesis están en la lógica matemática (simbólica o proposicional), y a la vez han sido obtenidos de la lógica formal. La lógica tradicional se dedicaba a estudiar, desde el punto de vista formal, a los juicios, los conceptos y los razonamientos; todas las formas discursivas eran consideradas como modificaciones, bien del juicio, bien del concepto o bien del razonamiento. Por esta razón, la hipótesis era comprendida por la lógica tradicional como forma específica del razonamiento o como juicio. La hipótesis era estudiada en la sección de razonamientos inductivos.

Recordemos que el juicio es un pensamiento en el que se afirma o se niega algo de algo. Además el juicio tiene una estructura cuyos elementos son: el sujeto (u objeto del juicio: la cosa de la que afirmamos o negamos algo en el juicio, y si sabemos de qué cosa afirmamos o negamos algo, tenemos el sujeto del juicio); el predicado (lo que se afirma o niega acerca del objeto), y la cúpula (establece que lo pensado en el predicado es propio o no del objeto del juicio).

Tomando algunos conceptos de la lógica matemática, se puede decir que la _forma sintáctica de una hipótesis es la de una proposición simple_. Las proposiciones son pensamientos en los que se afirma algo, y que se expresan por ello mediante enunciados u oraciones declarativas. Recuérdese que las oraciones (conjuntos de palabras que expresan pensamientos completos; o como lo hemos aprendido desde nuestra formación básica, una oración tendrá· sujeto-verbo complemento), se dividen en declarativas, imperativas, interrogativas y exclamativas. Reiterando, una proposición es equivalente a una oración declarativa, y ésta será la forma de redactar o formular una hipótesis, la cual tendrá· Sujeto: la cosa de la que afirmamos o negamos algo; Verbo:palabra que en una oración, expresa la acción o el estado del sujeto; Predicado: lo que se afirma o niega del sujeto.

Entonces, ejemplificando la redacción de algunas oraciones se tiene lo siguiente:

1) El universo está formado por ·tomos de hidrógeno

2) maldita sea mi suerte!

3) qué pasó con la iniciativa de pena de muerte? Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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4) no me molestes más!

En el ejemplo anterior, la oración uno es de mucha importancia por ser declarativa, ya que esta·

afirmando algo que puede ser falso o verdadero. Otros ejemplos de oraciones declarativas pueden

ser: Atenco esta· en México, y, México esta· en América, por lo que ambas oraciones a la vez son

proposiciones. Sin embargo, una proposición también se puede representar por una expresión

matemática, como la siguiente: (y)2

=x

2

+2xy+y2

; tal ecuación es una proposición porque

transmite algo que es verdadero.

Entonces, solo de las oraciones declarativas puede decirse que transmiten una proposición, que por ser una afirmación, es verdadera o falsa.

Por lo que la formulación de cualquier hipótesis es equivalente a tener un enunciado que tiene la presentación de una oración declarativa. Alguna variante a esta forma es un grave error, y ser· cualquier cosa, menos la formulación de una hipótesis. Nuestro trabajo de muchos años en la cartografía y clasificación de suelos ha permitido generar información para formular algunas hipótesis. Las siguientes son ejemplos de proposiciones simples, que cumplen con los requisitos para ser una buena hipótesis. ï Las tierras según la percepción de los campesinos se delimitan por fotointerpretación. ï Los mapas de suelos elaborados con el procedimiento de clases de tierras campesinas son más exactos y precisos, que aquellos con el procedimiento del levantamiento agrológico y la carta edafológica de INEGI.

Estas proposiciones están respaldadas por gran cantidad de trabajo que se ha desarrollado en el transcurso de varios años. Por ejemplo, en el primer caso, el punto inicial fue demostrar que en efecto, los campesinos tienen conocimiento del recurso suelo, lo cual ha sido posible básicamente a través del enfoque de la Antropología y la Etnología, y específicamente por la EtnoedafologÌa.

Por lo que, entonces es posible redactar dicha oración, que cumple los requisitos para ser una

hipótesis, la cual se ha comprobado, y cuyo producto final ha sido un procedimiento para la

elaboración de mapas de suelos hasta el nivel parcelario.

Con esta información fue posible pensar en la formulación de la siguiente hipótesis, cuya

comprobación pertinente ayudaría a criticar el trabajo de elaboración de mapas de suelos con el

procedimiento técnico. Esto también ha sido demostrado plenamente.

El evento de formulación de las hipótesis permite plantear dos preguntas básicas, antes de tener la redacción del enunciado: 1. como se originan las ideas básicas para su generación?, lo cual lleva al contexto de descubrimiento, y, 2. como se justifican?, lo cual lleva al contexto de justificación; o

en otras palabras, como se comprueba la validez de una hipótesis.

El contexto de descubrimiento es el aspecto más relacionado con la formulación de las hipótesis,

por lo que se debe saber cómo llegar a una oración declarativa que se transforma en la hipótesis que guiar· nuestro trabajo de investigación.

Este aspecto aparentemente sencillo, es la actividad más importante del trabajo científico, y se

realiza a través de la inducción. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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Recordemos que la inducción es un procedimiento del razonamiento que va de lo particular a lo

general. Se parte de hechos particulares (casos concretos) y se llega a conclusiones generales acerca del tipo a que pertenecen los hechos particulares considerados.

¿Cómo se Formula cualquier Hipótesis?

Se tienen dos grandes vías a partir de las cuales se descubren hipótesis y por lo tanto se formulan o

redactan: 1. A partir de la razón (razonando) y 2. A partir de la experiencia, usando la inducción.

En ambos casos es importante recalcar que el científico ha tenido una etapa previa de observación y acumulación de datos relacionados con el problema de la naturaleza que esta· investigando; por lo que la tradición científica permite desprender al menos cuatro procedimientos que llevan a la

formulación de hipótesis, [o la manera en que escribiremos una oración declarativa].

Entonces, podemos "descubrir" una hipótesis a través de:

1) La información respecto a la observación de un fenómeno es tan clara que conduce fácilmente a

una hipótesis,

2) El científico tiene una serie de convicciones o prejuicios filosóficos, producto de una gran

experiencia en torno al problema que aborda. Lo cual lo conduce fácilmente a una hipótesis,

3) Un suelo en torno al problema de interés sugiere una hipótesis y su redacción correspondiente, y

4) Una analogía, con relación al problema de interés podrá· conducir a la hipótesis buscada.

Es muy recomendable referirse al punto 1, ya que es más accesible observar y generar información,

o leer lo que ya está editado acerca de un determinado fenómeno de la naturaleza, y así llegar a

formular alguna hipótesis, relacionada con el problema que abordamos, y que aún no haya sido

investigado.

Sin embargo, recordemos que en la construcción de una hipótesis ocupa un lugar especial la

formulación de la idea nueva, que hace las veces de proposición. La aparición de nuevas ideas es

condición indispensable para la construcción de hipótesis; pero de ideas precisamente nuevas,

insulitas, que permitan edificar el sistema de conocimiento sobre otra base, distinta por principio de las anteriores.

Tal vez no se precise más que una sola cosa: la idea ha de ser completamente "loca" en

comparación con los conceptos establecidos hasta el momento en que se tiene pensado formular tal hipótesis. Solo a base de una idea nueva, como principio fundamental, se crea una hipótesis.

Por lo tanto, como iniciamos la formulación de cualquier hipótesis? La respuesta es sencilla: 1)

Después de conocer (observar) los hechos, 2) Después de estar bien documentado en torno a los

hechos que nos interesen, y 3) Después de entender que para llegar al punto dos, podrán pasar

varios años de observación (esto es, observando, midiendo, experimentando) y/o documentación.

SÛlo y solo entonces, es posible formular alguna hipótesis. Cinta de Moebio. Num. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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Ejemplos de la Formulación de Hipótesis en Diferentes Campos del Conocimiento

Analicemos algunos ejemplos para comprender cÛmo se han formulado hipótesis en varios campos del conocimiento.

Primer ejemplo: En el anexo de este documento se presenta un escrito inÈdito del profesor Huberto

QuiÒones Garza, quien dedicÛ toda su vida profesional a la enseÒanza de la geologÌa y mineralogÌa de los suelos, en el Colegio de Postgraduados en Ciencias AgrÌcolas y en la Universidad AutÛnoma

Chapingo; pero adem·s su gran cultura y preparaciÛn le permitieron indagar en varios aspectos del conocimiento cientÌfico.

En dicho trabajo, es posible observar la estructura cl·sica de un artÌculo cientÌfico en donde se aborda un determinado aspecto de la realidad; en este caso denominado, "Sobre el ciclo maya de 819 dÌas", que es de mucha trascendencia para la matemática y la antropología. El trabajo inicia por la lectura y comprensión de lo que se ha escrito y editado al respecto hasta la fecha en que el autor aborda dicho tema; posteriormente delimita la problemática que desea resolver planteando una serie de preguntas; para continuar con un análisis detallado y conciso que le permite al profesor Quienes escribir: "De todo lo anterior expuesto, se derivan las siguientes hipótesis, para futura comprobación o reprobación".

Según los planteamientos que estamos analizando, es en este momento cuando se formulan las hipótesis, las cuales se escriben a continuación:

1) La aritmética maya es una combinación de diferentes sistemas numéricos, el tredécima y el

vigesimal, como lo expresa el producto (13)(20)=260,

2) La cifra de los 260 días del tollina es la base fundamental de un sistema puramente aritmético en

el que se generan diversas cifras compatibles con observaciones astronómicas cardinales para los

maya.

3) El tollina permite el manejo de la cifra 3.15 como una excelente aproximación del π, mediante la

formulación: "a cada circunferencia igual a 819, corresponde siempre un diámetro de 260",

4) La relación del ciclo de 819 días con jeroglíficos de colores y direcciones hallada por Berlín y

Kelly esta· en función de la identificación de estos símbolos con las estaciones del año solar, de

duración aproximada de 91 º días.

Estas son verdaderas hipótesis, cuya característica es que corresponden a oraciones simples en

donde se afirma algo que puede ser verdadero o falso, y que una vez formuladas, se espera pasar a la siguiente etapa que es la contrastación o comprobación.

Segundo ejemplo: analicemos la redacción de una hipótesis, en el ·mito de la evolución humana.

El aine Morgan publica en 1982 un libro muy sugerente y atractivo llamado "The acuática api" (el

mono acuático). Utilizando información de varias ·reas del conocimiento, que ella narra inicia en

1960, se plantea la siguiente cuestión, "si el hombre desciende del mono, porque el hombre puede hablar y el mono no?"

Para establecer la probable solución a estas preguntas, en general se apoya en dos teorías concebidas independientemente, una planteada por Max Westenhˆfer en Alemania, en 1942, y otra Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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por el profesor Alistar Hardy en Inglaterra, en 1960; que en conjunto se ha denominado la teoría del mono acuático. Dicha teoría fue desarrollada por Marc Veragüen, con el título "la teoría del mono acuático: evidencia y posible escenario", y un resumen de ella se encuentra publicado en Medical

Hipótesis (vol. 16, p: 17. 1985).

La teoría del mono acuático afirma que la pérdida de pelo corporal y la grasa subcutánea, son

características netamente humanas, y esto solo fue posible si el hombre durante el proceso de

evolución pasó por una etapa de adaptación en el agua, antes de poder caminar erguido y en dos

miembros.

El aine Morgan en su libro ("The acuática api"), menciona lo siguiente: "Existen fusiles de una

criatura, que posiblemente sea un ancestro remoto del hombre, llamado Ramapithecus, cuya edad

data de hace 9 millones de años. Además, se tienen fusiles con datos de mucha confianza, así como de las huellas impresas de una criatura que caminaba apoyado en dos miembros, que datan de hace tres y medio millones de años. Entre estos dos periodos, hasta la fecha no se han encontrado fusiles que sigan apoyando o contradigan a la teoría de la evolución humana planteada por Darwin; de que el hombre desciende del mono.

Sin embargo, según El aine Morgan, al parecer este es un periodo de tiempo en que los ancestros del hombre aparentemente evolucionaron siguiendo un camino diferente al de los monos; por lo que ella se pregunta, qué pasó en esta etapa del proceso evolutivo del hombre, qué sucedió en el

ambiente natural en dicho periodo de tiempo?

A este respecto escribe lo siguiente: "Ö en ausencia de evidencia directa, el ˙Nico camino que

podemos seguir es deducir lo que pasó en la evolución del hombre dando respuesta a las siguientes

preguntas:

1) qué se conoce de los monos?

2) qué se conoce del hombre?

3) qué se conoce de los fusiles?

4) qué se conoce de las condiciones ambientales de África en el periodo entre hace nueve, y tres y

medio millones de años?, y

5) qué se conoce del proceso evolutivo en general?".

Con estas interrogantes, publica en 1985, un artículo en New Sientas (p: 62 y 63) denominado "In

the beginning was the water", en done formula la hypothesis siguiente:

"La fase acuática en la evolución del hombre es la condición necesaria para el desarrollo de la

laringe en el Homo sapiens, y por lo tanto la característica evolutiva requerida para poder hablar".

La redacción anterior también es una verdadera hipótesis; con una formulación realmente hermosa, temeraria por sus aseveraciones pero apoyada por evidencias. El aine Morgan, simplemente esta cuestionando los sagrados cimientos de la evolución humana planteados por Darwin desde hace más de cien años; lo cual es bastante atrayente y constituye un gran reto a la imaginación científica para llevarla a contraste. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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La nota curiosa en torno a una hipótesis realmente "loca", se ejemplifica con el siguiente

comentario: en el mes de enero del 2000, en un programa de televisión se presenta un documental en torno a este tema y ahí nos enteramos que las ideas de El aine Morgan, han tardado treinta años para ser aceptadas en los círculos científicos evolucionarios, por la simple razón de que ella es guionista de cine, y no tiene formación científica. Sin embargo fue invitada a una reunión sobre evolución humana realizada en Soncito, Sudáfrica, donde presenta las evidencias suficientes que apoyan la formulación de su hipótesis.

Concluiremos este ejemplo con algunas palabras captadas en ese programa televisivo. Ö" Solo la

evidencia y mucho trabajo podrán conducirnos a la conformación de una nueva verdad en torno a

un tema apasionante, que de resultar cierto, mostrarían lo maravilloso que es formular y comprobar la valides de las hipótesis científicas."

Tercer ejemplo: Finalmente, analicemos la formulación de hipótesis famosas que una vez

contrastadas, simplemente han cambiado la manera de concebir al universo. Hablaremos de la

Mecánica Cuántica.

Los siguientes son ejemplos de las hipótesis que se formularon y contrastaron en diferentes Épocas con resultados realmente asombrosos, que como ya comentamos han contribuido a percibir al universo de una manera completamente diferente.

En 1803 Thomas Young demostró que la luz produce interferencias (el experimento de la doble

rendija), y solo las ondas pueden producirlas.

Max Planck, en 1900, estudiando la radiación de los cuerpos negros, descubrí que la energía es

emitida y absorbida en "trozos", a los que llama quintos (quanta). …l sometí a prueba con gran

Éxito la hipótesis de que "la luz se emite o recibe en pequeñas cantidades discretas".

Einstein en 1905: "La energía se presenta en paquetes de determinados tamos o cuantos".

Louis de Broglie en 1924: "La luz representa la dualidad de la materia en ondas o partículas.

Schrödinger en 1926: "Los electrones no son objetos esféricos, como en el modelo de Bohr, sino

modelos de ondas estacionarias".

Max Barn en 1926: "La materia posee naturaleza ondulatoria que se describe como ondas de

probabilidad".

Heidelberg en 1927: "La posición y el momento de una partícula no se pueden medir al mismo

tiempo".

Nuevamente, observemos que todas estas formulaciones cumplen un requisito básico; son oraciones

simples.

Para qué Sirve una Hipótesis?

La formulación de cualquier hipótesis inicia con el análisis de los hechos. La hipótesis deber·

explicar estos hechos. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

David Pájaro Huertas. La Formulación de Hipótesis. Cinta de Moebio N° 15. Septiembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

Cualquier hipótesis que tenga cierta seriedad, se plantea con la finalidad de explicar los hechos

conocidos y pronosticar los desconocidos. El filósofo Venís, Karl Popper, afirma, "mientras más

fuerte sea la capacidad lógica de una hipótesis, más fácil ser· de comprobar". Entonces, una

hipótesis se constituye como la conclusión de un razonamiento con cierta probabilidad o

verosimilitud, que se obtiene al estar analizando-sintetizando, en torno a los hechos o fenómenos, y en su formulación inducimos-deducimos a partir de las observaciones respecto a tales hechos o

fenómenos.

La característica peculiar de la hipótesis radica en que sistematiza el conocimiento científico,

integrando un sistema de abstracciones de la realidad que se observa.

En la hipótesis, es una proposición lo que viene a ser el punto de atracción de todo ese sistema de

conocimientos y hacia la cual convergen todos los restantes juicios. Los juicios que integran la

hipótesis argumentan esta proposición o se derivan de ella, es decir, conducen a ella, se infieren o se derivan de ella.

La hipótesis es la forma de desarrollo del conocimiento científico pero no por ser un juicioproposiciÛn. La proposición por sí sola, tomada aisladamente, no desarrolla el conocimiento acerca del objeto. Cumple su función solo si esta· relacionada con el conocimiento anterior, de veracidad admitida, y con las conclusiones que de Él se infieren.

En la hipótesis hay juicios fidedignos; una hipótesis privada de todo conocimiento verídico y

demostrado, carece de valor científico. El conocimiento fidedigno constituye la base, el

fundamento. Toda proposición tiene valor si esta· basada en hechos y leyes sólidamente

establecidas.

La hipótesis por su esencia, comprende juicios problemáticos, es decir, juicios cuya veracidad o

falsedad no ha sido demostrada aún; estos juicios problemáticos no han de ser conjeturas arbitrarias, su probabilidad debe estar argumentada por conocimientos anteriores ya demostrados.

Una hipótesis formada por proposiciones arbitrarias no deja ninguna huella importante en la ciencia.

Una hipótesis de este género no constituye una verdad objetiva. Cuando estas proposiciones se

refutan, de la hipótesis no queda nada.

La hipótesis científica verdadera incluye una proposición que puede ser refutada, pero que posee,

además una serie de juicios verídicos que en el curso del desarrollo científico no solo pasan de una

hipótesis a otra, sino que se van haciendo más completos. El juicio-proposición, en la hipótesis

científica debe estar argumentado con suficiente grado de probabilidad.

Si en los siglos XVII y XVIII los científicos miraban con recelo a la hipótesis, pues consideraban

que el pensamiento verídico podía y debía evitarla de alguna manera, a fines del siglo XIX y en el

XX, comprendieron en cambio, que el conocimiento se desarrolla por medio de ella.

En el siglo XX es poco probable que un científico serio niegue la importancia de la hipótesis en el

conocimiento. En la doctrina de la hipótesis, lo principal no es ya el saber si desempeña un papel

esencial en el conocimiento del mundo, sino lo que representa como forma de conocimiento

científico, cuál es su relación con el mundo objetivo y qué carácter tiene el conocimiento en ella

contenido. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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La revolución acaecida en las ciencias naturales demostró que el conocimiento se desarrolla por

medio de hipótesis que se van sustituyendo unas a otras.

De tal forma que una hipótesis sirve para: 1) Explicar los hechos existentes y 2) Pronosticar otros

nuevos (desconocidos).

El Concepto de Hipótesis Científica

Existen varias definiciones que ayudan a establecer el concepto de hipótesis (ver cuadro 2).

Etimológicamente "es una explicación supuesta que esta· bajo ciertos hechos a los que sirve de

soporte". Una definición que transmite el concepto de hipótesis, utilizando la información o datos

de que dispone el investigador es la siguiente: "un conjunto de datos que describen a un problema,

donde se propone una reflexión y/o explicación que plantea la solución a dicho problema".

Cuadro 2

Hipótesis: hipo = bajo, tesis = posición o situación

ETIMOLÓGICAMENTE: "Explicación supuesta que está bajo ciertos hechos, a los que sirve de

soporte".

1. Es una suposición que permite establecer relaciones entre hechos.

2. Es una afirmación sujeta a confirmación.

3. Es una explicación provisional del problema.

4. Es una solución telúrica o tentativa del problema.

5. Es una relación entre dos o más variables para describir o explicar un problema.

6. Es un raciocinio o una conclusión según la cual un determinado conjunto de fenómenos, cuyo

pensamiento forma el predicado del juicio, puede ser explicado como el resultado de un orden

sujeto a leyes que no se observa directamente.

7. Es un juicio problemático mediatizado sobre el vínculo sujeto a las leyes de los fenómenos, que

se obtiene como deducción de un raciocinio de probabilidad.

8. Es una suposición acerca de la existencia de una entidad, la cual permite la explicación de los

fenómenos o del fenómeno estudiado.

9. Es aquella formulación que se apoya en un sistema de conocimientos organizados y

sistematizados, y que establece una relación entre dos o más variables para explicar y predecir en la

medida de lo posible, aquellos fenómenos de una parcela determinada de la realidad en caso de

comprobarse la relación establecida.

10. Conjunto de datos que describen a un problema, donde se propone una reflexión y/o explicación

que plantea la solución a dicho problema.

11. Enunciado o proposición que sirve de antecedente para explicar por qué o como se produce un

fenómeno o conjunto de fenómenos relacionados entre sí. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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Sin embargo, el concepto que se ajusta a nuestras reflexiones, porque utiliza la información de la

lógica matemática, es: "aquel enunciado o proposición que sirve como antecedente para explicar

porqué o como se produce un fenómeno o conjunto de fenómenos relacionados entre sí".

El Concepto de Hipótesis de Trabajo

Sin embargo entre los investigadores hay la tendencia a considerar a la hipótesis tan solo como una estructura de trabajo, carente de todo contenido objetivo. Ms aún, algunos llegan a declarar que todas las hipótesis son fantasías, simples ficciones que solo tienen valor práctico, pero que no

reflejan de ningún modo el mundo objetivo. Consideran que la hipótesis no es más que un

procedimiento artificial de la mente, que tan solo sistematiza los conocimientos que se poseen. Al

idealismo le conviene declarar que el mundo exterior es una hipótesis de trabajo cómoda.

El concepto de hipótesis de trabajo se introdujo para diferenciar el valor cognoscitivo de las

diversas clases de hipótesis. Suele calificarse de hipótesis de trabajo a las primeras explicaciones

del fenómeno.

Cuando se construye una hipótesis de trabajo lo importante no es que explique el proceso

verídicamente (en la etapa inicial, esta faceta interesa poco al investigador), sino que proporcione

datos que permitan seguir analizando este proceso, que le ayude a encauzar el pensamiento hacia un estudio más detallado y profundo del objeto observado. La hipótesis de trabajo es unaestructura totalmente provisional, una de las armas posibles y necesarias del investigador, que puede admitirse y desecharse en consonancia con las necesidades que presente la investigación del objeto.

Para que el proceso del descubrimiento y la descripción de los fenómenos tengan carácter

consciente, es preciso que se atenga a una idea rectora y este es el papel, que en algunos casos,

cumple la hipótesis inicial. Una vez construida esta hipótesis, el investigador busca los hechos y los

fenómenos que han de existir si el contenido de la hipótesis corresponde a la realidad. Pero si estos hechos no se demuestran y, en cambio, se encuentran hechos que contradicen la hipótesis, el investigador construye una hipótesis de trabajo. La finalidad de la hipótesis de trabajo es auxiliar, debe ayudar al investigador a la acumulación de los datos y a su conocimiento previo.

La hipótesis de trabajo es una de las primeras suposiciones que se hacen al principio de la

investigación científica; se convierte en hipótesis real o científica después de su precisión, y sirve

para explicar todos los hechos compilados de la realidad, hechos que pretende demostrar.

A Manera de Reflexión en torno a la Formulación de una Hipótesis Científica

1) Es posible formular una hipótesis cuando se ha tenido un periodo exhaustivo de observación y/o documentación de determinado hecho o fenómeno,

2) La formulación y posterior comprobación de alguna hipótesis, es un proceso que permite generar conocimiento científico, el cual conforma la etapa telúrica de dicho proceso, y

3) Es necesario tener claridad respecto a la etapa de trabajo en la cual se desempeña cada investigador, ya sea, que esté desarrollando observaciones o que las utilice para formular hipótesis. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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Apéndice: Sobre el Ciclo Maya de 819 Días (H. Quiñones Garza)

Varios investigadores maristas encontraron años atrás que cinco inscripciones ( una en Palenque,

tres en Yaxchil·n, una en Quiroga· y una en Copan) de carácter calendárico, llevan intercaladas, a

manera de inserciones consideradas "parentéticas", seis glifos, también calendáricos, que señalan

fechas anteriores a las expresadas en las respectivas series iniciales. Los intervalos en días entre las seis fechas son: 11466, 15561, 3276, 16380, y 1433250. En 1943 Eric Thompson (5, 6) demostró

que el factor común más elevado de estas cifras es 819, número que descompone, como Él séalo , a los productos (9)(91), (7)(117), (3)(273) y (7)(9)(13). Thompson destacó la gran importancia

mística para los maya de los números, 7, 9 y 13. Por ello considera que manejaban un ciclo de 819

días, que habrá· tenido un carácter mágico o ritual, sin descartar alguna manifestación astrológica o astronómica. Pensando en una posible relación con observaciones del planeta Mercurio, o de la

Luna, encargó una investigación astronómica que no logró relacionar las fechas con los ciclos o

fases de dichos cuerpos (6). Posteriormente, en 1961, Berlín y Kelly (1) establecieron relaciones

entre las fechas "parentéticas" y glifos direccionales y de colores.

Un enfoque que no ha sido tomado en cuenta hasta hoy, es el puramente aritmético: el posible

interés del sacerdocio maya en este número como tal. qué propiedades intrínsecas, además de las

señaladas por Thompson, tiene el número 819? qué relación podría guardar esta cifra con sus

sistemas numérico y calendárico? Veamos.

Entre los números 200 y 999 solo hay tres nones, no divisibles entre cinco, que poseen ocho o más

divisores ( sin considerar la unidad y el número mismo). Estos son el 693, el 819, y el 891, cuyos

divisores se dan en el cuadro 1.

 Cuadro 1

693 819 891

3 x 231 3x273 3x297

7x99 7x117 9x99

9x77 9x91 27x33

11x63 13x63 11x81

21x33 21x29

El 819, el que nos interesa, tiene diez divisores nones y es el ˙Nico de los tres divisibles entre 13.

Sus divisores mayores descomponen a los menores, por ejemplo: 273= 3x91, 117=3x39,

63=3x21=7x9, etc. De los divisores mayores (39 para arriba), solo el 63 no divide a entero entre 13.

El interés maya en el 819 solo se empieza a entender si se le considera dentro de un sistema de

numeración de base trece, esto es, de un sistema de conteo por treces, y no por dieces, como en

nuestro actual sistema decimal, ni por veintes, como en el sistema vigesimal que todos los tratados maristas afirman fue la base fundamental de la aritmética maya. Puedo indicar aquí que una excelente explicación de los sistemas de numeración de bases desiguales al diez, se da en el texto de Filipense y Williams (4). Acorde con las formulaciones matemáticas modernas, en un sistema tredécima ( pero que no inicia en cero, sino en uno), el 13 es equivalente al 10 del decimal, y el 169 (13x13) al 100 (10x10). El desarrollo del sistema tredécima, hasta el sexto "tridacna" se da en el cuadro 2. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

David Pájaro Huertas. La Formulación de Hipótesis. Cinta de Moebio N° 15. Septiembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

Obsérvese la necesaria aparición de la mayoría de los divisores del 819 (13, 39, 91, 117, 273), lo

mismo que otros números importantes de la aritmética y calendárica maya, como el 52 y el 260.

Úntese también la presencia del 26 que es, a la vez, 2x13, 527/2, Y 260/10.

qué posición ocupa el 819 en el sistema numérico tredécima? El número final del quinto

"tridacna", ubicado en el 65avo lugar de la numeración corrida, es el 845, en tanto que el 819

queda dos sitios atrás, en el lugar 63. porque, entonces el ciclo elegido no fue de 845 días en lugar

de 819? La primera razón aducirle es que el 819 es el número de "cita" o de "encuentro" del mayor número de múltiplos del 13. Una segunda razón podría ser de carácter astronómico: son 91 los días entre solsticios y equinoccios o, dicho en otra forma, cada estación del año dura 91 º días. A este respecto, observar la presencia del 364 (91x4) en la posición 28 del sistema tredécima. El número de 819 días abarca nueve estaciones, o sea, dos años solares más una estación del subsiguiente. Pero pudo haber habido una tercera razón para elegir ciclos de 819 días y no de otro número. Divídase el 819 entre 260, el número de días del llamado tollina o "calendario ritual" de los maya:

819/260=3.15

El número 3.15 difiere del π moderno, aproximado a 3.1416Ö, en solo 0.0084, lo que le da la

suficiente exactitud para usos pr·cticos mensur·biles, ingenieriles, arquitectÛnicos e inclusive

astronÛmicos.

Ahora bien, sacar 3.15 como cociente de la división de dos números "sacros" de los maya parece

demasiado feliz y acertado para ser simple coincidencia. verdaderamente conocían, entonces el

número π con buena aproximación? Hay antecedentes entre otros pueblos de la antigüedad.

Tal parece, como veremos más adelante, que los antiguos hebreos lo estimaban igual a tres; por el

papiro Rinda (1700 a. C.) se sabe que los egipcios lo calculaban en 3 3/81 (3.16); y Arquímedes lo

ubica entre 3 10/71 y 3 1/7, o sea entre 3.1408 y 3.1428 (ver 3).

La respuesta a la pregunta es la siguiente: como en su aritmética los maya solo manipulaban

n˙meros enteros, no pudieron haber conocido el n˙mero π como tal, pero definitivamente pudieron haberlo manejado mediante la siguiente formulación: "todo cÌrculo de circunferencia dividida en 819 partes iguales, tendrá· un diámetro de 260 de esas mismas partes iguales". Basta con esto para poder hacer cálculos prácticos que involucran en forma intrínseca la excelente aproximación al πque es el 3.15. Para tal enfoque aritmético y geométrico, también se tienen antecedentes de la antigüedad. En el segundo Libro de Crónicas, IV, 2, del Antiguo Testamento bíblico hebreo, quedó escrito: "También hizo un mar de fundición, el cual tenía 10 codos de un borde al otro, enteramente redondo; su altura era de 5 codos, y un cordón de 30 codos de largo lo veía alrededor".

Entonces, circunferencia/diámetro = 30/10 = 3.

Por otro lado, la división de las circunferencias en pequeñas unidades iguales, tiene antiquísimos

antecedentes entre los babilonios, que fueron los primeros en dividirlas en 360 partes iguales, cada una de ellas divisibles en 60 más pequeñas, sistema en uso hasta la actualidad (2). Es evidente que esta operación babilónica no iba encaminada a conocer el n˙mero π, ya que el diámetro de un círculo con circunferencia de 360 mide 114.59Ö, incomodísima cifra para cálculos prácticos. Cinta de Moebio. Núm. 15. Diciembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

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De todo lo anterior expuesto, se derivan las siguientes hipótesis ( no pretendo que sean

conclusiones definitivas), para futura comprobación o reprobación:

1. La aritmética maya no era solo de base vigesimal, sino combinación de diferentes sistemas

numéricos, la tredécima y la vigesimal, como ya lo expresa el producto 13x20 = 260

2. La cifra de los 260 días del tollina nada tenía que ver en forma directa con los ciclos

lunares, planetarias o estelares individuales, sino que era la base fundamental de un sistema

puramente aritmético, en el que felizmente se generan diversas cifras compatibles con

observaciones astronómicas cardinales para los maya.

3. Este sistema permita el manejo intrínseco del 3.15, excelente aproximación del π, mediante

la formulación: "a cada circunferencia igual a 819, corresponde siempre un di·metro de

260".

4. La relación del ciclo de 819 días con jeroglíficos de colores y direcciones hallada por Berlín

y Kelly, esta· en función de la identificación de estos símbolos con las estaciones del año

solar, de duración aproximada de 91 º días, por ejemplo ( por decir algo ), "blanco" y

"norte" con la estación "invierno", etc.

Cuadro 2

Tridecenares 1º. 2º. 3º. 4º. 5º.

 1 13 14 182 27 351 40 520 53 689

 2 26 15 195 28 364 41 533 54 702

 3 39 16 208 29 377 42 546 55 715

 4 52 17 221 30 390 43 559 56 728

 5 65 18 234 31 403 44 572 57 741

 6 78 19 247 32 416 45 585 58 754

 7 91 20 260 33 429 46 598 59 767

 8 104 21 273 34 442 47 611 60 780

 9 117 22 286 35 455 48 624 61 793

 10 130 23 299 36 468 49 637 62 806

 11 143 24 312 37 481 50 650 63 819

 12 156 25 325 38 494 51 663 64 832

 13 169 26 338 39 507 52 676 65 845

En cada columna, el n˙mero corrido queda a la izquierda, y el conteo por treces a la derecha

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Notas

(1) Tomado de: IntroducciÛn al estudio de la medicina experimental. Claude Bernard. UNAM.

Facultad de Medicina. Mexico. 1994.

Bibliografía
David Pájaro Huertas. La Formulación de Hipótesis. Cinta de Moebio N° 15. Septiembre de 2002. Facultad de Ciencias Sociales. Universidad de Chile.

Subido por: Ruiz Martinez Miriam Yosselin